Keterbagian

Definisi  (Rosen, 1993: 36)

Jika a dan b adalah bilangan bulat dengan  a dikatakan membagi (habis) b jika terdapat sebuah bilangan bulat k sedemikian sehingga b = ak. Jika a membagi (habis) b dikatakan juga bahwa a adalah pembagi atau faktor dari b. Jika a membagi (habis) b maka ditulis a│b dan jika a tidak membagi (habis) b maka ditulis a ł b. 

Sebagai ilustrasi diberikan contoh berikut.

Contoh 

 4│124 karena terdapat bilangan bulat 31 sedemikian sehingga  (4)(31)=124.

 7 ł 51 karena tidak ada bilangan bulat k sedemikian sehingga 7k = 51.

Sifat-sifat dari keterbagian bilangan bulat akan dibahas dalam teorema berikut.

Teorema 1 (Rosen, 1993: 37)                                                             

Jika a, b, dan k adalah bilangan bulat dengan a│b dan  b│k maka a│k.

Bukti

a│b dan b│k maka menurut Definisi, terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga  dan sehingga k = bg = (af)g = a(fg). Jadi, k = a(fg). Akibatnya menurut Definisi, a│k.   

Untuk lebih jelasnya, diberikan Contoh  berikut.

Contoh

Jika 4│124 dan 124│372 maka menurut Teorema 2.1, 4│372 karena terdapat bilangan bulat 93 sedemikian sehingga (93)(4) = 372.

Teorema 2 (Rosen, 1993: 37)

Jika a, b, k, dan l adalah bilangan bulat dengan j│a dan j│b maka j│(ka+lb).

Bukti

j│a dan j│b maka terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga  dan b =jg sehingga, ka + lb = kjf + ljg = j(kf+lg). Akibatnya, j│(ka+lb).  

Sebagai ilustrasi dari sifat pada diberikan contoh berikut.

Contoh 

      Jika 4│124 dan 4│372 maka  4 ⎸[(2.124) + (5.372)] = 4 ⎸(248+1860) = 4 ⎸2108.

Teorema 3 (Buchmann, 2002: 3) 

a. Jika a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.  

b. Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.

Bukti

a. Jika  a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat  f ≠ 0 sedemikian sehingga b = af . Karena b = af  maka |b| = |af| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|. 
b. Andaikan  a│b dan b│a.  Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0  maka b ≠ 0. Kemudian, jika  a ≠ 0 dan  b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a| sehingga |a| = |b|.

Untuk lebih jelasnya, diberikan contoh berikut.

Contoh

a.    2 ⎸-10 maka |2| ≤ |-10|.

b.    -2 ⎸2 dan 2 ⎸-2  maka |-2| = |2|.