Kamis, 13 Januari 2011
Kekongruenan
Konsep dari kekongruenan digunakan untuk mempelajari lebih mendalam mengenai konsep dan sifat-sifat dari keterbagian bilangan bulat. Konsep dari kekongruenan dijelaskan pada definisi berikut.
Definisi (Rosen, 1993: 120)
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Jika a dan b adalah bilangan bulat, a dikatakan kongruen dengan b modulo n jika n│(a-b), dalam hal ini ditulis a ≡ b mod n dan a dikatakan tidak kongruen dengan b modulo n jika n ł (a-b).
Ilustrasi dari definisi kekongruenan diberikan pada Contoh berikut.
Contoh
33 ≡ 6 mod 9 karena 9│(33 - 6) = 9│27.
7 tidak kongruen dengan 2 mod 9 karena 9 ł (7 - 2) = 9 ł 5.
Sifat-sifat dari kekongruenan bilangan bulat akan dibahas pada Teorema 1, Teorema 2 dan Teorema 3 berikut.
Teorema 1 (Rosen, 1993: 120)
Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka jika dan hanya jika terdapat sebuah bilangan bulat k sedemikian sehingga a = b + km.
Bukti
Jika a ≡ b mod m maka m│(a-b) yang berarti terdapat bilangan bulat k dengan km = a – b, sehingga a = b + km. Sebaliknya, jika terdapat bilangan bulat k dengan a = b + km, maka km = a - b. Sehingga m│(a-b), akibatnya a ≡ b mod m.
Untuk lebih jelasnya mengenai Teorema 1 diberikan contoh berikut.
Contoh
33 ≡ 6 mod 9 karena terdapat k = 3 sedemikian sehingga 33 = 6 + (3)(9).
Berikut ini diberikan suatu Lemma yang akan digunakan untuk membuktikan sifat kekongruenan selanjutnya.
Lemma (Rosen, 1993: 91)
Jika a, b dan k adalah bilangan bulat positif dengan a│bk dan gcd(a,b) = 1 maka a│k.
Bukti
Karena gcd(a,b) = 1 maka terdapat x dan y sehingga ax + by = 1. Perkalian kedua sisi persamaan dengan c diperoleh akx + bky = k. Jika a│a dan a│bk maka menurut Teorema 2 (pada pembahasan keterbagian), a membagi akx + bky, karena akx + bky adalah kombinasi linear dari a dan bk. Sehingga, a│akx + bky = a│k.
Sebagai ilustrasi dari Lemma diberikan Contoh berikut.
Contoh
Jika terdapat bilangan 3, 5 dan 6, maka 3│6 karena dan gcd(3,5) = 1.
Teorema 2 (Rosen, 1993: 122)
Jika a, b, k dan n adalah bilangan bulat sedemikian sehingga n > 0, gcd(k, n) = l dan ak ≡ (bk) mod n, maka a ≡ b mod (n/l).
Bukti
Jika ak ≡ (bk) mod n, maka n ⎸(ak-bk) = n ⎸k(a-b). Sehingga, terdapat bilangan bulat m dengan k(a-b) = mn. Kemudian kedua ruas dibagi dengan l maka diperoleh (k/l) (a-b) = m(n/l). Karena gcd(n/l,k/l) = 1, menurut Lemma di atas maka
n /l ⎸(a-b) sehingga a ≡ b mod (n/l).
Sebagai ilustrasi dari Teorema 2 diberikan Contoh berikut.
Contoh
Jika 50 ≡ 20 mod 15 dan gcd(10,15) = 5 maka 50/10 ≡ 20/10(mod 15/5) atau 5 ≡ 2 mod 3.
Teorema 3 (Rosen, 1993: 124)
Jika a, b, k, dan m adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga k > 0,m > 0, dan a ≡ b mod m, maka ak ≡ bk mod m.
Bukti
Karena a ≡ b mod m dan m ⎸(a-b) maka,
ak - bk = (a - b) (ak-1 + ak-2b + … + abk-2 + bk-1), sehingga (a – b) ⎸( ak - bk).
Sehingga menurut Teorema 1 maka m ⎸( ak - bk) . Jadi, ak ≡ bk mod m.
Untuk lebih jelasnya, diberikan Contoh berikut.
Contoh
Jika 5 ≡ 2 mod 3 menurut Teorema 3 maka 52 ≡ 22 mod 3.
Jika a dan m bilangan bulat dan gcd (a, m) = 1 maka dapat ditemukan balikan (invers) dari a modulo m. Definisi dari modulo invers sebagai berikut,
Definisi (Rosen, 1993: 155)
Diberikan suatu bilangan bulat a dengan gcd(a, m) = 1, maka invers dari a modulo m adalah x sedemikian sehingga
ax ≡ b mod m.
Untuk lebih jelasnya, diberikan Contoh 2 berikut.
Contoh
gcd(3, 8) = 1, maka invers dari 3 mod 8 adalah 3 sedemikian sehingga (3)(3)≡ 1 mod 8 .
Faktor Persekutuan Terbesar
Faktor persekutuan terbesar atau dikenal juga dengan greatest common divisor (gcd). Faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan itu. Untuk lebih jelas mengenai faktor persekutuan terbesar diberikan Definisi berikut.
Definisi (Burton, 2007: 21)
Jika a dan b adalah bilangan bulat yang sekurang-kurang salah satu dari a dan b tidak sama dengan nol maka faktor persekutuan terbesar dari a dan b, dinotasikan dengan gcd(a,b) adalah suatu bilangan bulat positif k yang memenuhi sifat berikut :
a. k│a dan k│b,
b. jika terdapat suatu bilangan bulat j, j│a dan j│b maka j ≤ k.
Untuk lebih jelasnya mengenai definisi faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan diberikan Contoh berikut.
Contoh
Faktor-faktor bilangan bulat positif dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor-faktor bilangan bulat positif dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Maka faktor-faktor persekutuan dari 24 dan 30 adalah 1, 2, 3, 6.
Jadi, faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 30 adalah 6, atau dapat ditulis gcd(24, 30) = 6.
Dua bilangan dikatakan relatif prima jika memenuhi Definisi 2 berikut.
Definisi 2 (Burton, 2007: 22)
Dua bilangan bulat a dan b, a dan b tidak sama dengan nol maka a dikatakan relatif prima dengan b jika gcd(a, b) = 1.
Untuk lebih jelasnya, diberikan Contoh berikut.
Contoh
5 dan 14 relatif prima karena gcd(5, 14) = 1.
Definisi (Burton, 2007: 21)
Jika a dan b adalah bilangan bulat yang sekurang-kurang salah satu dari a dan b tidak sama dengan nol maka faktor persekutuan terbesar dari a dan b, dinotasikan dengan gcd(a,b) adalah suatu bilangan bulat positif k yang memenuhi sifat berikut :
a. k│a dan k│b,
b. jika terdapat suatu bilangan bulat j, j│a dan j│b maka j ≤ k.
Untuk lebih jelasnya mengenai definisi faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan diberikan Contoh berikut.
Contoh
Faktor-faktor bilangan bulat positif dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Faktor-faktor bilangan bulat positif dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Maka faktor-faktor persekutuan dari 24 dan 30 adalah 1, 2, 3, 6.
Jadi, faktor persekutuan terbesar dari 24 dan 30 adalah 6, atau dapat ditulis gcd(24, 30) = 6.
Dua bilangan dikatakan relatif prima jika memenuhi Definisi 2 berikut.
Definisi 2 (Burton, 2007: 22)
Dua bilangan bulat a dan b, a dan b tidak sama dengan nol maka a dikatakan relatif prima dengan b jika gcd(a, b) = 1.
Untuk lebih jelasnya, diberikan Contoh berikut.
Contoh
5 dan 14 relatif prima karena gcd(5, 14) = 1.
Prinsip Well Ordering
Prinsip well ordering atau prinsip terurut sempurna digunakan untuk mengembangkan sifat-sifat bilangan bulat, salah satu penerapan prinsip well ordering yaitu dalam pembuktian algoritma pembagian. Berikut definisi dari prinsip well ordering,
Definisi (Burton, 2007: 1)
Jika S himpunan tidak kosong dan S suatu himpunan bilangan bulat tak negatif, maka ada suatu elemen
a ϵ S sedemikian sehingga a ≤ b, untuk setiap b ϵ S.
Ilustrasi mengenai prinsip well ordering diberikan pada contoh berikut.
Contoh
Misalkan himpunan S = {3, 5, 7, 10, 13, …} maka menurut prinsip well ordering, himpunan S memuat elemen terkecil yaitu = 3.
Definisi (Burton, 2007: 1)
Jika S himpunan tidak kosong dan S suatu himpunan bilangan bulat tak negatif, maka ada suatu elemen
a ϵ S sedemikian sehingga a ≤ b, untuk setiap b ϵ S.
Ilustrasi mengenai prinsip well ordering diberikan pada contoh berikut.
Contoh
Misalkan himpunan S = {3, 5, 7, 10, 13, …} maka menurut prinsip well ordering, himpunan S memuat elemen terkecil yaitu = 3.
Keterbagian
Definisi (Rosen, 1993: 36)
Jika a dan b adalah bilangan bulat dengan a dikatakan membagi (habis) b jika terdapat sebuah bilangan bulat k sedemikian sehingga b = ak. Jika a membagi (habis) b dikatakan juga bahwa a adalah pembagi atau faktor dari b. Jika a membagi (habis) b maka ditulis a│b dan jika a tidak membagi (habis) b maka ditulis a ł b.
Sebagai ilustrasi diberikan contoh berikut.
Contoh
4│124 karena terdapat bilangan bulat 31 sedemikian sehingga (4)(31)=124.
7 ł 51 karena tidak ada bilangan bulat k sedemikian sehingga 7k = 51.
Sifat-sifat dari keterbagian bilangan bulat akan dibahas dalam teorema berikut.
Teorema 1 (Rosen, 1993: 37)
Jika a, b, dan k adalah bilangan bulat dengan a│b dan b│k maka a│k.
Bukti
a│b dan b│k maka menurut Definisi, terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga dan sehingga k = bg = (af)g = a(fg). Jadi, k = a(fg). Akibatnya menurut Definisi, a│k.
Untuk lebih jelasnya, diberikan Contoh berikut.
Contoh
Jika 4│124 dan 124│372 maka menurut Teorema 2.1, 4│372 karena terdapat bilangan bulat 93 sedemikian sehingga (93)(4) = 372.
Teorema 2 (Rosen, 1993: 37)
Jika a, b, k, dan l adalah bilangan bulat dengan j│a dan j│b maka j│(ka+lb).
Bukti
j│a dan j│b maka terdapat bilangan bulat f dan g sedemikian sehingga dan b =jg sehingga, ka + lb = kjf + ljg = j(kf+lg). Akibatnya, j│(ka+lb).
Sebagai ilustrasi dari sifat pada diberikan contoh berikut.
Contoh
Jika 4│124 dan 4│372 maka 4 ⎸[(2.124) + (5.372)] = 4 ⎸(248+1860) = 4 ⎸2108.
Teorema 3 (Buchmann, 2002: 3)
a. Jika a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.
b. Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.
Bukti
a. Jika a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat f ≠ 0 sedemikian sehingga b = af . Karena b = af maka |b| = |af| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|.
b. Andaikan a│b dan b│a. Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0 maka b ≠ 0. Kemudian, jika a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a| sehingga |a| = |b|.
b. Andaikan a│b dan b│a. Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0 maka b ≠ 0. Kemudian, jika a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a| sehingga |a| = |b|.
Untuk lebih jelasnya, diberikan contoh berikut.
Contoh
a. 2 ⎸-10 maka |2| ≤ |-10|.
b. -2 ⎸2 dan 2 ⎸-2 maka |-2| = |2|.
Senin, 03 Januari 2011
Kisah-Kisah Inspirasional
Ada seseorang saat melamar kerja, memungut sampah kertas di lantai ke dalam tong sampah, dan hal itu terlihat oleh peng-interview, dan dia mendapatkan pekerjaan tersebut.
"Ternyata untuk memperoleh penghargaan sangat mudah, cukup memelihara kebiasaan yang baik".
Ada seorang anak menjadi murid di toko sepeda. Suatu saat ada seseorang yang mengantarkan sepeda rusak untuk diperbaiki di toko tsb. Selain memperbaiki sepeda tsb, si anak ini juga membersihkan sepeda hingga bersih mengkilap. Murid-murid lain menertawakan perbuatannya. Keesokan hari setelah sang empunya sepeda mengambil sepedanya, si adik kecil ditarik/diambil kerja di tempatnya.
"Ternyata untuk menjadi orang yang berhasil sangat mudah, cukup punya inisiatif sedikit saja"
Seorang anak berkata kepada ibunya: “Ibu hari ini sangat cantik.
Ibu menjawab: “Mengapa?
Anak menjawab: “Karena hari ini ibu sama sekali tidak marah-marah.
"Ternyata untuk memiliki kecantikan sangatlah mudah, hanya perlu tidak marah-marah".
Seorang petani menyuruh anaknya setiap hari bekerja giat di sawah.
Temannya berkata: “Tidak perlu menyuruh anakmu bekerja keras, Tanamanmu tetap akan tumbuh dengan subur.
Petani menjawab: “Aku bukan sedang memupuk tanamanku, tapi aku sedang membina anakku.
"Ternyata membina seorang anak sangat mudah, cukup membiarkan dia rajin bekerja".
Seorang pelatih bola berkata kepada muridnya: “Jika sebuah bola jatuh ke dalam rerumputan, bagaimana cara mencarinya?
Ada yang menjawab: “Cari mulai dari bagian tengah.” Ada pula yang menjawab: “Cari di rerumputan yang cekung ke dalam.” Dan ada yang menjawab: “Cari di rumput yang paling tinggi. Pelatih memberikan jawaban yang paling tepat: “Setapak demi setapak cari dari ujung rumput sebelah sini hingga ke rumput sebelah sana .
"Ternyata jalan menuju keberhasilan sangat gampang, cukup melakukan segala sesuatunya setahap demi setahap secara berurutan, jangan meloncat-loncat".
Katak yang tinggal di sawah berkata kepada katak yang tinggal di pinggir jalan: “Tempatmu terlalu berbahaya, tinggallah denganku.”
Katak di pinggir jalan menjawab: “Aku sudah terbiasa, malas untuk pindah.”
Beberapa hari kemudian katak “sawah” menjenguk katak “pinggir jalan” dan menemukan bahwa si katak sudah mati dilindas mobil yang lewat.
"Ternyata sangat mudah menggenggam nasib kita sendiri, cukup hindari kemalasan saja".
Ada segerombolan orang yang berjalan di padang pasir, semua berjalan dengan berat, sangat menderita, hanya satu orang yang berjalan dengan gembira. Ada yang bertanya: “Mengapa engkau begitu santai?”
Dia menjawab sambil tertawa: “Karena barang bawaan saya sedikit.”
"Ternyata sangat mudah untuk memperoleh kegembiraan, cukup tidak serakah dan memiliki secukupnya saja"
"Ternyata untuk memperoleh penghargaan sangat mudah, cukup memelihara kebiasaan yang baik".
Ada seorang anak menjadi murid di toko sepeda. Suatu saat ada seseorang yang mengantarkan sepeda rusak untuk diperbaiki di toko tsb. Selain memperbaiki sepeda tsb, si anak ini juga membersihkan sepeda hingga bersih mengkilap. Murid-murid lain menertawakan perbuatannya. Keesokan hari setelah sang empunya sepeda mengambil sepedanya, si adik kecil ditarik/diambil kerja di tempatnya.
"Ternyata untuk menjadi orang yang berhasil sangat mudah, cukup punya inisiatif sedikit saja"
Seorang anak berkata kepada ibunya: “Ibu hari ini sangat cantik.
Ibu menjawab: “Mengapa?
Anak menjawab: “Karena hari ini ibu sama sekali tidak marah-marah.
"Ternyata untuk memiliki kecantikan sangatlah mudah, hanya perlu tidak marah-marah".
Seorang petani menyuruh anaknya setiap hari bekerja giat di sawah.
Temannya berkata: “Tidak perlu menyuruh anakmu bekerja keras, Tanamanmu tetap akan tumbuh dengan subur.
Petani menjawab: “Aku bukan sedang memupuk tanamanku, tapi aku sedang membina anakku.
"Ternyata membina seorang anak sangat mudah, cukup membiarkan dia rajin bekerja".
Seorang pelatih bola berkata kepada muridnya: “Jika sebuah bola jatuh ke dalam rerumputan, bagaimana cara mencarinya?
Ada yang menjawab: “Cari mulai dari bagian tengah.” Ada pula yang menjawab: “Cari di rerumputan yang cekung ke dalam.” Dan ada yang menjawab: “Cari di rumput yang paling tinggi. Pelatih memberikan jawaban yang paling tepat: “Setapak demi setapak cari dari ujung rumput sebelah sini hingga ke rumput sebelah sana .
"Ternyata jalan menuju keberhasilan sangat gampang, cukup melakukan segala sesuatunya setahap demi setahap secara berurutan, jangan meloncat-loncat".
Katak yang tinggal di sawah berkata kepada katak yang tinggal di pinggir jalan: “Tempatmu terlalu berbahaya, tinggallah denganku.”
Katak di pinggir jalan menjawab: “Aku sudah terbiasa, malas untuk pindah.”
Beberapa hari kemudian katak “sawah” menjenguk katak “pinggir jalan” dan menemukan bahwa si katak sudah mati dilindas mobil yang lewat.
"Ternyata sangat mudah menggenggam nasib kita sendiri, cukup hindari kemalasan saja".
Ada segerombolan orang yang berjalan di padang pasir, semua berjalan dengan berat, sangat menderita, hanya satu orang yang berjalan dengan gembira. Ada yang bertanya: “Mengapa engkau begitu santai?”
Dia menjawab sambil tertawa: “Karena barang bawaan saya sedikit.”
"Ternyata sangat mudah untuk memperoleh kegembiraan, cukup tidak serakah dan memiliki secukupnya saja"
Kisah-Kisah Inspirasional
Ada seseorang saat melamar kerja, memungut sampah kertas di lantai ke dalam tong sampah, dan hal itu terlihat oleh peng-interview, dan dia mendapatkan pekerjaan tersebut.
"Ternyata untuk memperoleh penghargaan sangat mudah, cukup memelihara kebiasaan yang baik".
Ada seorang anak menjadi murid di toko sepeda. Suatu saat ada seseorang yang mengantarkan sepeda rusak untuk diperbaiki di toko tsb. Selain memperbaiki sepeda tsb, si anak ini juga membersihkan sepeda hingga bersih mengkilap. Murid-murid lain menertawakan perbuatannya. Keesokan hari setelah sang empunya sepeda mengambil sepedanya, si adik kecil ditarik/diambil kerja di tempatnya.
"Ternyata untuk menjadi orang yang berhasil sangat mudah, cukup punya inisiatif sedikit saja"
Seorang anak berkata kepada ibunya: “Ibu hari ini sangat cantik.
Ibu menjawab: “Mengapa?
Anak menjawab: “Karena hari ini ibu sama sekali tidak marah-marah.
"Ternyata untuk memiliki kecantikan sangatlah mudah, hanya perlu tidak marah-marah".
Seorang petani menyuruh anaknya setiap hari bekerja giat di sawah.
Temannya berkata: “Tidak perlu menyuruh anakmu bekerja keras, Tanamanmu tetap akan tumbuh dengan subur.
Petani menjawab: “Aku bukan sedang memupuk tanamanku, tapi aku sedang membina anakku.
"Ternyata membina seorang anak sangat mudah, cukup membiarkan dia rajin bekerja".
Seorang pelatih bola berkata kepada muridnya: “Jika sebuah bola jatuh ke dalam rerumputan, bagaimana cara mencarinya?
Ada yang menjawab: “Cari mulai dari bagian tengah.” Ada pula yang menjawab: “Cari di rerumputan yang cekung ke dalam.” Dan ada yang menjawab: “Cari di rumput yang paling tinggi. Pelatih memberikan jawaban yang paling tepat: “Setapak demi setapak cari dari ujung rumput sebelah sini hingga ke rumput sebelah sana .
"Ternyata jalan menuju keberhasilan sangat gampang, cukup melakukan segala sesuatunya setahap demi setahap secara berurutan, jangan meloncat-loncat".
Katak yang tinggal di sawah berkata kepada katak yang tinggal di pinggir jalan: “Tempatmu terlalu berbahaya, tinggallah denganku.”
Katak di pinggir jalan menjawab: “Aku sudah terbiasa, malas untuk pindah.”
Beberapa hari kemudian katak “sawah” menjenguk katak “pinggir jalan” dan menemukan bahwa si katak sudah mati dilindas mobil yang lewat.
"Ternyata sangat mudah menggenggam nasib kita sendiri, cukup hindari kemalasan saja".
Ada segerombolan orang yang berjalan di padang pasir, semua berjalan dengan berat, sangat menderita, hanya satu orang yang berjalan dengan gembira. Ada yang bertanya: “Mengapa engkau begitu santai?”
Dia menjawab sambil tertawa: “Karena barang bawaan saya sedikit.”
"Ternyata sangat mudah untuk memperoleh kegembiraan, cukup tidak serakah dan memiliki secukupnya saja"
"Ternyata untuk memperoleh penghargaan sangat mudah, cukup memelihara kebiasaan yang baik".
Ada seorang anak menjadi murid di toko sepeda. Suatu saat ada seseorang yang mengantarkan sepeda rusak untuk diperbaiki di toko tsb. Selain memperbaiki sepeda tsb, si anak ini juga membersihkan sepeda hingga bersih mengkilap. Murid-murid lain menertawakan perbuatannya. Keesokan hari setelah sang empunya sepeda mengambil sepedanya, si adik kecil ditarik/diambil kerja di tempatnya.
"Ternyata untuk menjadi orang yang berhasil sangat mudah, cukup punya inisiatif sedikit saja"
Seorang anak berkata kepada ibunya: “Ibu hari ini sangat cantik.
Ibu menjawab: “Mengapa?
Anak menjawab: “Karena hari ini ibu sama sekali tidak marah-marah.
"Ternyata untuk memiliki kecantikan sangatlah mudah, hanya perlu tidak marah-marah".
Seorang petani menyuruh anaknya setiap hari bekerja giat di sawah.
Temannya berkata: “Tidak perlu menyuruh anakmu bekerja keras, Tanamanmu tetap akan tumbuh dengan subur.
Petani menjawab: “Aku bukan sedang memupuk tanamanku, tapi aku sedang membina anakku.
"Ternyata membina seorang anak sangat mudah, cukup membiarkan dia rajin bekerja".
Seorang pelatih bola berkata kepada muridnya: “Jika sebuah bola jatuh ke dalam rerumputan, bagaimana cara mencarinya?
Ada yang menjawab: “Cari mulai dari bagian tengah.” Ada pula yang menjawab: “Cari di rerumputan yang cekung ke dalam.” Dan ada yang menjawab: “Cari di rumput yang paling tinggi. Pelatih memberikan jawaban yang paling tepat: “Setapak demi setapak cari dari ujung rumput sebelah sini hingga ke rumput sebelah sana .
"Ternyata jalan menuju keberhasilan sangat gampang, cukup melakukan segala sesuatunya setahap demi setahap secara berurutan, jangan meloncat-loncat".
Katak yang tinggal di sawah berkata kepada katak yang tinggal di pinggir jalan: “Tempatmu terlalu berbahaya, tinggallah denganku.”
Katak di pinggir jalan menjawab: “Aku sudah terbiasa, malas untuk pindah.”
Beberapa hari kemudian katak “sawah” menjenguk katak “pinggir jalan” dan menemukan bahwa si katak sudah mati dilindas mobil yang lewat.
"Ternyata sangat mudah menggenggam nasib kita sendiri, cukup hindari kemalasan saja".
Ada segerombolan orang yang berjalan di padang pasir, semua berjalan dengan berat, sangat menderita, hanya satu orang yang berjalan dengan gembira. Ada yang bertanya: “Mengapa engkau begitu santai?”
Dia menjawab sambil tertawa: “Karena barang bawaan saya sedikit.”
"Ternyata sangat mudah untuk memperoleh kegembiraan, cukup tidak serakah dan memiliki secukupnya saja"
Minggu, 02 Januari 2011
Kenapa harus Tenggelam dalam Kepedihan yang Berlebihan?
Alkisah, seorang lelaki keluar dari pekarangan rumahnya, berjalan tak tentu arah dengan rasa putus asa. Sudah cukup lama ia menganggur. Kondisi finansial keluarganya morat-marit. Sementara para tetangganya sibuk memenuhi rumah dengan barang-barang mewah, ia masih bergelut memikirkan cara memenuhi kebutuhan pokok keluarganya sandang dan pangan.
Anak-anaknya sudah lama tak dibelikan pakaian, istrinya sering marah-marah karena tak dapat membeli barang-barang rumah tangga yang layak. Laki-laki itu sudah tak tahan dengan kondisi ini, dan ia tidak yakin bahwa perjalanannya kali inipun akan membawa keberuntungan, yakni mendapatkan pekerjaan.
Ketika laki-laki itu tengah menyusuri jalanan sepi, tiba-tiba kakinya
terantuk sesuatu. Karena merasa penasaran ia membungkuk dan mengambilnya.
“Uh, hanya sebuah koin kuno yang sudah penyok-penyok,” gerutunya kecewa. Meskipun begitu ia membawa koin itu ke sebuah bank.
“Sebaiknya koin in Bapak bawa saja ke kolektor uang kuno,” kata teller itu memberi saran. Lelaki itupun mengikuti anjuran si teller, membawa koinnya kekolektor. Beruntung sekali, si kolektor menghargai koin itu senilai 30 dollar.
Begitu senangnya, lelaki tersebut mulai memikirkan apa yang akan dia lakukan dengan rejeki nomplok ini. Ketika melewati sebuah toko perkakas, dilihatnya beberapa lembar kayu sedang diobral. Dia bisa membuatkan beberapa rak untuk istrinya karena istrinya pernah berkata mereka tak punya tempat untuk menyimpan jambangan dan stoples. Sesudah membeli kayu seharga 30 dollar, dia memanggul kayu tersebut dan beranjak pulang.
Di tengah perjalanan dia melewati bengkel seorang pembuat mebel. Mata
pemilik bengkel sudah terlatih melihat kayu yang dipanggul lelaki itu.
Kayunya indah, warnanya bagus, dan mutunya terkenal. Kebetulan pada waktu itu ada pesanan mebel. Dia menawarkan uang sejumlah 100 dollar kepada lelaki itu.
Terlihat ragu-ragu di mata laki-laki itu, namun pengrajin itu meyakinkannya dan dapat menawarkannya mebel yang sudah jadi agar dipilih lelaki itu. Kebetulan di sana ada lemari yang pasti disukai istrinya. Dia menukar kayu tersebut dan meminjam sebuah gerobak untuk membawa lemari itu. Dia pun segera membawanya pulang.
Di tengah perjalanan dia melewati perumahan baru. Seorang wanita yang sedang mendekorasi rumah barunya melongok keluar jendela dan melihat lelaki itu mendorong gerobak berisi lemari yang indah. Si wanita terpikat dan menawar dengan harga 200 dollar. Ketika lelaki itu nampak ragu-ragu, si wanita menaikkan tawarannya menjadi 250 dollar. Lelaki itupun setuju. Kemudian mengembalikan gerobak ke pengrajin dan beranjak pulang.
Di pintu desa dia berhenti sejenak dan ingin memastikan uang yang ia terima. Ia merogoh sakunya dan menghitung lembaran bernilai 250 dollar. Pada saat itu seorang perampok keluar dari semak-semak, mengacungkan belati, merampas uang itu, lalu kabur.
Istri si lelaki kebetulan melihat dan berlari mendekati suaminya seraya berkata, “Apa yang terjadi? Engkau baik saja kan? Apa yang diambil oleh perampok tadi?”
Lelaki itu mengangkat bahunya dan berkata, “Oh, bukan apa-apa. Hanya sebuah koin penyok yang kutemukan tadi pagi”.
Bila Kita sadar kita tak pernah memiliki apapun, kenapa harus tenggelam dalam kepedihan yang berlebihan?
Kisah di atas, saya ambil dari sebuah site tapi saya lupa nama sitenya apa . Dalam posting di site tersebut disebutkan bahwa cerita di atas diadaptasi dari The Healing Stories karya GW Burns.
Sabtu, 01 Januari 2011
Chatting dengan Tuhan
"Anda doyan chatting ??"
"saya juga..." :D.
Dialog berikut saya temukan ketika saya mencari-cari inspirasi untuk menyelesaikan skripsi saya..:). "Ya.., inilah jawaban-jawaban dari pertanyaan-pertanyaan yang terkadang muncul dalam benak saya", pikir saya setelah selesai membaca posting ini. Isi dialog yang memikat, seketika menyadarkan dan mengnspirasi saya. Sehingga, saya pun tertarik untuk mencantumkan gubahannya dalam motto skripsi saya dan saya juga ingin mensharekan di sini, siapa tau juga menginspirasi teman-teman yang membacanya. Selamat merenungkan... ^_^
'CHATTING DENGAN TUHAN'
TUHAN : Kamu memanggilKu ?
AKU: Memanggilmu? Tidak.. Ini siapa ya?
TUHAN : Ini TUHAN. Aku mendengar doamu. Jadi Aku ingin berbincang-bincang denganmu.
AKU: Ya, saya memang sering berdoa, hanya agar saya merasa lebih baik. Tapi sekarang saya sedang sibuk, sangat sibuk.
TUHAN : Sedang sibuk apa? Semut juga sibuk.
AKU: Nggak tau ya. Yang pasti saya tidak punya waktu luang sedikitpun. Hidup jadi seperti diburu-buru. Setiap waktu telah menjadi waktu sibuk.
TUHAN : Benar sekali. Aktifitas memberimu kesibukan. Tapi Produktifitas memberimu hasil. Aktifitas memakan waktu, Produktifitas membebaskan waktu.
AKU: Saya mengerti itu. Tapi saya tetap tidak dapat menghidarinya. Sebenarnya, saya tidak mengharapkan Tuhan mengajakku chatting seperti ini.
TUHAN : Aku ingin memecahkan masalahmu dengan waktu, dengan memberimu beberapa petunjuk. Di era internet ini, Aku ingin menggunakan medium yang lebih nyaman untukmu daripada mimpi, misalnya.
AKU: OKE, sekarang beritahu saya, mengapa hidup jadi begitu rumit?
TUHAN : Berhentilah menganalisa hidup. Jalani saja. Analisa-lah yang membuatnya jadi rumit.
AKU: Kalau begitu mengapa kami manusia tidak pernah merasa senang?
TUHAN : Hari ini adalah hari esok yang kamu khawatirkan kemarin. Kamu merasa khawatir karena kamu menganalisa. Merasa khawatir menjadi kebiasaanmu. Karena itulah kamu tidak pernah merasa senang.
AKU: Tapi bagaimana mungkin kita tidak khawatir jika ada begitu banyak ketidakpastian.
TUHAN : Ketidakpastian itu tidak bisa dihindari. Tapi kekhawatiran adalah sebuah pilihan.
AKU: Tapi, begitu banyak rasa sakit karena ketidakpastian.
TUHAN : Rasa Sakit tidak bisa dihindari, tetapi Penderitaan adalah sebuah pilihan.
AKU: Jika Penderitaan itu pilihan, mengapa orang baik selalu menderita?
TUHAN : Intan tidak dapat diasah tanpa gesekan. Emas tidak dapat dimurnikan tanpa api. Orang baik melewati rintangan, tanpa menderita. Dengan pengalaman itu, hidup mereka menjadi lebih baik bukan sebaliknya.
AKU: Maksudnya pengalaman pahit itu berguna?
TUHAN : Ya. Dari segala sisi, pengalaman adalah guru yang keras. Guru pengalaman memberi ujian dulu, baru pemahamannya.
AKU: Tetapi, mengapa kami harus melalui semua ujian itu? Mengapa kami tidak dapat hidup bebas dari masalah?
TUHAN : Masalah adalah Rintangan yang ditujukan untuk meningkatkan kekuatan mental (Purposeful Roadblocks Offering Beneficial Lessons (to) Enhance Mental Strength). Kekuatan dari dalam diri bisa keluar dari perjuangan dan rintangan, bukan dari berleha-leha.
AKU: Sejujurnya ditengah segala persoalan ini, kami tidak tahu kemana harus melangkah…
TUHAN : Jika kamu melihat keluar, maka kamu tidak akan tahu kemana kamu melangkah. Lihatlah ke dalam. Melihat keluar, kamu bermimpi. Melihat ke dalam, kamu terjaga. Mata memberimu penglihatan. Hati memberimu arah.
AKU: Kadang-kadang ketidakberhasilan membuatku menderita. Apa yang dapat saya lakukan?
TUHAN : Keberhasilan adalah ukuran yang dibuat oleh orang lain. Kepuasan adalah ukuran yang dibuat olehmu sendiri. Mengetahui tujuan perjalanan akan terasa lebih memuaskan daripada mengetahui bahwa kau sedang berjalan. Bekerjalah dengan kompas, biarkan orang lain bekejaran dengan waktu.
AKU: Di dalam saat-saat sulit, bagaimana saya bisa tetap termotivasi?
TUHAN : Selalulah melihat sudah berapa jauh saya berjalan, daripada masih berapa jauh saya harus berjalan. Selalu hitung yang harus kau syukuri, jangan hitung apa yang tidak kau peroleh.
AKU: Apa yang menarik dari manusia?
TUHAN : Jika menderita, mereka bertanya “Mengapa harus aku?”. Jika mereka bahagia, tidak ada yang pernah bertanya “Mengapa harus aku?”.
AKU: Kadangkala saya bertanya, siapa saya, mengapa saya disini?
TUHAN : Jangan mencari siapa kamu, tapi tentukanlah ingin menjadi apa kamu. Berhentilah mencari mengapa saya di sini. Ciptakan tujuan itu. Hidup bukanlah proses pencarian, tapi sebuah proses penciptaan.
AKU: Bagaimana saya bisa mendapat yang terbaik dalam hidup ini?
TUHAN : Hadapilah masa lalu-mu tanpa penyesalan. Peganglah saat ini dengan keyakinan. Siapkan masa depan tanpa rasa takut.
AKU: Pertanyaan terakhir. Seringkali saya merasa doa-doaku tidak dijawab.
TUHAN : Tidak ada doa yang tidak dijawab. Seringkali jawabannya adalah TIDAK.
AKU: Terima Kasih Tuhan atas chatting yang indah ini.
TUHAN : Oke. Teguhlah dalam iman, dan buanglah rasa takut. Hidup adalah misteri untuk dipecahkan, bukan masalah untuk diselesaikan. Percayalah padaKu. Hidup itu indah jika kamu tahu cara untuk hidup.
TUHAN has signed out.
sumber : <<>>
AKU: Memanggilmu? Tidak.. Ini siapa ya?
TUHAN : Ini TUHAN. Aku mendengar doamu. Jadi Aku ingin berbincang-bincang denganmu.
AKU: Ya, saya memang sering berdoa, hanya agar saya merasa lebih baik. Tapi sekarang saya sedang sibuk, sangat sibuk.
TUHAN : Sedang sibuk apa? Semut juga sibuk.
AKU: Nggak tau ya. Yang pasti saya tidak punya waktu luang sedikitpun. Hidup jadi seperti diburu-buru. Setiap waktu telah menjadi waktu sibuk.
TUHAN : Benar sekali. Aktifitas memberimu kesibukan. Tapi Produktifitas memberimu hasil. Aktifitas memakan waktu, Produktifitas membebaskan waktu.
AKU: Saya mengerti itu. Tapi saya tetap tidak dapat menghidarinya. Sebenarnya, saya tidak mengharapkan Tuhan mengajakku chatting seperti ini.
TUHAN : Aku ingin memecahkan masalahmu dengan waktu, dengan memberimu beberapa petunjuk. Di era internet ini, Aku ingin menggunakan medium yang lebih nyaman untukmu daripada mimpi, misalnya.
AKU: OKE, sekarang beritahu saya, mengapa hidup jadi begitu rumit?
TUHAN : Berhentilah menganalisa hidup. Jalani saja. Analisa-lah yang membuatnya jadi rumit.
AKU: Kalau begitu mengapa kami manusia tidak pernah merasa senang?
TUHAN : Hari ini adalah hari esok yang kamu khawatirkan kemarin. Kamu merasa khawatir karena kamu menganalisa. Merasa khawatir menjadi kebiasaanmu. Karena itulah kamu tidak pernah merasa senang.
AKU: Tapi bagaimana mungkin kita tidak khawatir jika ada begitu banyak ketidakpastian.
TUHAN : Ketidakpastian itu tidak bisa dihindari. Tapi kekhawatiran adalah sebuah pilihan.
AKU: Tapi, begitu banyak rasa sakit karena ketidakpastian.
TUHAN : Rasa Sakit tidak bisa dihindari, tetapi Penderitaan adalah sebuah pilihan.
AKU: Jika Penderitaan itu pilihan, mengapa orang baik selalu menderita?
TUHAN : Intan tidak dapat diasah tanpa gesekan. Emas tidak dapat dimurnikan tanpa api. Orang baik melewati rintangan, tanpa menderita. Dengan pengalaman itu, hidup mereka menjadi lebih baik bukan sebaliknya.
AKU: Maksudnya pengalaman pahit itu berguna?
TUHAN : Ya. Dari segala sisi, pengalaman adalah guru yang keras. Guru pengalaman memberi ujian dulu, baru pemahamannya.
AKU: Tetapi, mengapa kami harus melalui semua ujian itu? Mengapa kami tidak dapat hidup bebas dari masalah?
TUHAN : Masalah adalah Rintangan yang ditujukan untuk meningkatkan kekuatan mental (Purposeful Roadblocks Offering Beneficial Lessons (to) Enhance Mental Strength). Kekuatan dari dalam diri bisa keluar dari perjuangan dan rintangan, bukan dari berleha-leha.
AKU: Sejujurnya ditengah segala persoalan ini, kami tidak tahu kemana harus melangkah…
TUHAN : Jika kamu melihat keluar, maka kamu tidak akan tahu kemana kamu melangkah. Lihatlah ke dalam. Melihat keluar, kamu bermimpi. Melihat ke dalam, kamu terjaga. Mata memberimu penglihatan. Hati memberimu arah.
AKU: Kadang-kadang ketidakberhasilan membuatku menderita. Apa yang dapat saya lakukan?
TUHAN : Keberhasilan adalah ukuran yang dibuat oleh orang lain. Kepuasan adalah ukuran yang dibuat olehmu sendiri. Mengetahui tujuan perjalanan akan terasa lebih memuaskan daripada mengetahui bahwa kau sedang berjalan. Bekerjalah dengan kompas, biarkan orang lain bekejaran dengan waktu.
AKU: Di dalam saat-saat sulit, bagaimana saya bisa tetap termotivasi?
TUHAN : Selalulah melihat sudah berapa jauh saya berjalan, daripada masih berapa jauh saya harus berjalan. Selalu hitung yang harus kau syukuri, jangan hitung apa yang tidak kau peroleh.
AKU: Apa yang menarik dari manusia?
TUHAN : Jika menderita, mereka bertanya “Mengapa harus aku?”. Jika mereka bahagia, tidak ada yang pernah bertanya “Mengapa harus aku?”.
AKU: Kadangkala saya bertanya, siapa saya, mengapa saya disini?
TUHAN : Jangan mencari siapa kamu, tapi tentukanlah ingin menjadi apa kamu. Berhentilah mencari mengapa saya di sini. Ciptakan tujuan itu. Hidup bukanlah proses pencarian, tapi sebuah proses penciptaan.
AKU: Bagaimana saya bisa mendapat yang terbaik dalam hidup ini?
TUHAN : Hadapilah masa lalu-mu tanpa penyesalan. Peganglah saat ini dengan keyakinan. Siapkan masa depan tanpa rasa takut.
AKU: Pertanyaan terakhir. Seringkali saya merasa doa-doaku tidak dijawab.
TUHAN : Tidak ada doa yang tidak dijawab. Seringkali jawabannya adalah TIDAK.
AKU: Terima Kasih Tuhan atas chatting yang indah ini.
TUHAN : Oke. Teguhlah dalam iman, dan buanglah rasa takut. Hidup adalah misteri untuk dipecahkan, bukan masalah untuk diselesaikan. Percayalah padaKu. Hidup itu indah jika kamu tahu cara untuk hidup.
TUHAN has signed out.
sumber : <<
Langganan:
Postingan (Atom)